Infografía sobre Competencias

TARJETAS FRACTALES

Un fractal es una figura que se repite muchas veces dentro de un objeto en diferentes tamaños de ampliación.

                     

REFLEXIÓN SOBRE LA CLASE DEL SÁBADO 13 DE ABRIL   “TOPOLOGÍA Y TURTLE ART”

Me pareció muy interesante aprender que existen tipos de Geometría además de la que ya estaba escrita en “Los Elementos” de  Euclides y que por cierto se desprendieron del quinto postulado del mismo Euclides, “Por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela” ya que como existían algunas dudas y no estaba completamente fundamentado, empezaron a surgir nuevas ideas y ahí tuvo origen la Geometría Elíptica y la Geometría Hiperbólica. De lo anterior me llama la atención que hayan pasado más de dos mil años para que se desprendieran del quinto postulado dos geometrías más.

Otro tipo de Geometría que también me parece importante es la Topología que se inicia con Euler al hacer un análisis del  recorrido de los  7 puentes  de Königsberg. Éste tipo de geometría difiere de la Geometría euclidiana porque para transformar dos objetos que sean equivalentes, deben conservar la medida de ángulos, área, longitud y volumen y en Topología han de tener el mismo número de huecos, trozos e intersecciones permitiendo doblar, estirar, etc. Me parece que es una Geometría más flexible  y moldeable.

Me sorprende la manera como se comporta la banda de Möbius que es un ejemplo de Topología, en donde al girar no se llega al mismo punto de inicio del recorrido y  se camina por ambos lados de la tira (anverso y reverso) sin hacer una pausa o cambiar de lado; y de igual manera el flexágono (otro ejemplo de Topología) que se realiza con una tira de diez triángulos equiláteros y que al unirla dando un giro a los extremos se forma un hexágono muy peculiar porque haciendo dobleces y desdobleces,  se pueden ir mostrando las caras del anverso y reverso de la tira. Lo que me pregunto es que si habrá una regla para determinar en número de caras anversas y reversas que se mostrarán al girarlo una vez, y la combinación resultante de ellas.

Otra actividad realizada en clase y que me fascino, fue el uso del programa Turtle Art porque se pueden hacer múltiples figuras, objetos, trazos, diseños, etc.  con gran colorido y vistosidad. Pero lo interesante fue crearlas mediante comandos que debían ser debidamente estructurados y bien pensados para determinar lo que la tortuga iba a realizar como giros, pasos hacia atrás y delante, coordenadas, repeticiones, rango de color. Se debe tener mucho cuidado con el orden en que se dan las instrucciones, debido a que en programación los datos o indicaciones deben ser precisos porque de lo contrario el resultado no será el esperado. 

  REFLEXIÓN SOBRE LA CLASE DEL SÁBADO 20 DE ABRIL           “FRACTALES”                                 Me pareció interesante conocer los fractales como parte de las matemáticas, porque es algo completamente diferente a la geometría clásica donde se establece que las dimensiones de un objeto solo pueden ser de 1, 2 ó 3, es decir números enteros y los fractales no encajan en esas dimensiones. Ya había tenido la duda o curiosidad de determinar el volumen de objetos que no están completos, sino que tienen orificios  y me preguntaba como determinar el espesor de ellos e infería que no había manera de hacerlo o que ni siquiera era correcto  plantearse esa pregunta; pero ahora ya sé cómo catalogar dichos objetos y son “Fractales” que como bien su definición proviene de la palabra fragmentación o fraccionado; es decir cuando un plano no está totalmente recubierto o bien un volumen o espesor no está completamente lleno (tiene huecos o espacios).   

 De las dos características de los fractales (su dimensión es fraccionada y es autosimilar porque su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura) me llama la atención la segunda de ellas porque  me es sorprendente cómo se van repitiendo las formas y estilos en escalas más y más pequeñas al grado de no poderlas ver a simple vista y es como viajar a una dimensión infinita donde se pueden seguir hallando más réplicas increíblemente diminutas del objeto original.

Lo que también me sorprendió sobre los fractales, es su aplicación en diversos áreas como en diseño para objetos, pinturas, computación (películas, video juegos, caricaturas,  etc) y de igual manera tienen presencia en la naturaleza como en las ramificaciones de un río, en el torrente sanguíneo, en el follaje de un árbol, en las nubes, en el fuego, en el vapor del agua, en el brócoli, etc

Pienso que muchas veces no desarrollamos una visibilidad más amplia y profunda (hablando matemáticamente) ya que nos encuadramos solo en la geometría euclidiana y no percibimos toda la naturaleza y entorno, porque no descubrimos todas las formas y maneras en que se presentan los tipos de Geometría. Como el francés Mandelbrot que observó con detenimiento los objetos en la naturaleza y descubrió que las montañas, ríos, olas, no se podían definir como planos o dimensiones completas que coincidiera con la geometría tradicional (euclidiana) porque estaban incompletas o fracturadas. Me gustaría tener esa capacidad de observación.

Por último, quisiera saber ¿A qué tipo de Geometría pertenecen los fractales?

My Voki sobre Euler

Reflexión sobre Construcción de Transformaciones Geométricas en Geogebra

Como es sabido, desde la antigüedad, las civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de sus templos, casas, pavimentos, etc.,  y me pregunto si en aquellos años realizaban los teselados de una manera empírica o empleaban las transformaciones geométricas. 

Lo anterior me recuerda que la Geometría nuevamente está presente como símbolo de belleza  y arte en la arquitectura porque se emplean figuras para recubrir un plano sin dejar espacios ni trasponerse, creando así diseños de gran vistosidad y creatividad.

Abordando ahora la realización de Transformaciones Geométricas en el programa de  Geogebra, me permitió descubrir algunas características particulares de la homotecia, rotación, traslación y reflexión, al igual que sus similitudes y diferencias entre ellas como:

*La propiedad de isometría la poseen la traslación, reflexión y rotación.

*La homotecia es isomórfica porque sus ángulos y forma no cambian pero los lados de las figuras son proporcionales.

*La rotación, traslación y reflexión son transformaciones directas porque no cambia el sentido de las figuras.

*El elemento particular de la reflexión es el eje de simetría; de homotecia son el punto de homotecia y el factor de escala; de rotación son el punto de rotación y el ángulo; y de traslación es el vector.

Ahora bien, pienso que elaborar las Transformaciones Geométricas en el programa de Geogebra brinda muchas ventajas y oportunidades de conocimiento y creatividad porque puedes dar movimiento a las figuras,  disminuyendo o acrecentando la medida del ángulo en el caso de rotación, la longitud del vector en la traslación, el factor de escala en homotecia, y observar los cambios y presentación de las transformaciones; al igual que las propiedades de las mismas. 

Me parece importante la aplicación de las Transformaciones Geométricas en teselaciones, pero me interesaría saber distinguir cuándo una teselación está trazada con rotación, traslación, reflexión u otra; y de la misma manera poder elaborar algún teselado empleando alguna de ellas.

Quisiera saber más sobre las aplicaciones de las Transformaciones Geométricas en otras áreas o situaciones además de las teselaciones porque me parecen interesantes y creativas.

Glogster: Geometría no Euclidiana

Glogster: Geometría no Euclidiana

Transformaciones Geométricas

Transformaciones Geométricas

Homotecia Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

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Rotación Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

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Traslación Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

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Reflexión Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

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 Razón dorada

Se trata de un número irracional (decimal infinito no periódico)          Phi= 1.61803398.... y fue creado en la antigüedad como la relación o proporción entre dos segmentos de rectas.




La línea es dividida para que la proporción de la longitud de la línea entera (A) respecto a la longitud del segmento de la línea mayor (B) sea igual que la proporción de la longitud del segmento de la línea mayor (B) a la longitud del segmento de la línea menor (C)

Lo impresionante de esta razón es el perfecto encaje del espiral dorado en la naturaleza como en las conchas de mar y en las flores.

También se presenta en la arquitectura con el empleo del espiral dorado

Ex-convento de Huejotzingo

Palacio de Bellas Artes

El Capitolio EE UU

En el cuerpo humano

En el rostro de Jennifer Aniston

Rostro perfecto

En el cuerpo de esta chica tomando como referencia el ombligo

Proporción perfecta

En algunos objetos la razón aurea se hace presente con ayuda del compás dorado

Cartel de seguridad

Pantalla de televisor

Apagador

Reflexión sobre la clase  del sábado 16 de marzo.


Durante el curso de Geometría, los temas que se han abordado, han sobresalido los griegos como los grandes matemáticos y fueron ellos los que se cuestionaron "¿Habrá una manera de representar la belleza mediante las matemáticas? ¿Habrá un número que represente la belleza y perfección?" Realmente para mi es asombroso que los griegos se hayan hecho éstas preguntas porque aunque la Geometría  presenta formas que brindan belleza en arquitectura, arte, escultura, etc. ésto no fue suficiente para ellos.


El número Fi  que equivale a 1.618......  descubierto por Fibonacci (aunque antes ya lo habían mencionado Euclides) con el cual se da el rectángulo, compás y espiral dorado que surge de la proporción entre dos segmentos de una recta.
Lo que me parece interesante es que el espiral dorado encaja perfectamente en creaciones de la naturaleza como flores, animales, nervaduras de hojas,  conchas de mar, piñas de pino, etc  y también el compás dorado se ajusta a las partes del cuerpo humano en manos, cara, brazo, oreja, etc. ¿Me pregunto por qué se da ésta situación? ¿Podrá catalogarse como sólo una coincidencia o como lo describen algunos matemáticos, algo místico?

Por otro lado, abordando el tema de  Teselaciones  que también se trabajó en clase, pienso que además del papel importante de la Geometría, también es indispensable la imaginación y creatividad porque se pueden diseñar recubrimientos del plano con figuras regulares pero al
igual se pueden emplear formas diversas como animales, personas, objetos o bien la combinación de ellos.

Esto me recuerda los panales de las abejas  que están formados por pequeños hexágonos. ¿Me pregunto si las teselaciones también tienen su origen en la naturaleza como la proporcionalidad aurea o surgió solo con lápiz y papel trazando figuras geométricas que cubrían un plano sin dejar espacios ni sobreponerse.
Las teselaciones pueden ser diseñadas con base en transformaciones geométricas como rotación, traslación, simetría u homotecia, pero me gustaría saber distinguir cuando una teselación  está elaborada específicamente por alguna de dichas transformaciones y así mismo poder trazarlas bajo esos criterios o condiciones.
Las teselaciones son empleadas en  pisos, tapices, paredes, telas, etc., pero ¿habrá alguna otra aplicación en diferentes ámbitos o áreas?

CALEIDOCICLO

La palabra caleidociclo proviene del griego kalos (bellos), eîdos (figuras) y kîklos (anillo) 

Es un poliedro compuesto por tetraedros que se unen mediante sus aristas en las que éstan articulados.  Los calidociclos pueden giran sobre sí mismos indefinidamente sin romperse ni deformarse en

torno a su centro. Los ejemplos más conocidos son los que están formados por tetraedros.

Pasos para construir un caleidociclo:

1. Se trazan 24 triángulos isósceles, 4 en cada tira vertical, no olvidando las pestañas que nos ayudarán a unirlo.

2. Se remarca con tijeras y regla todas las lineas para poder doblar con mayor facilidad.

3. Se colorea y decora usando la imaginación o bien utilizando una plantilla de modelos conocidos. 

4. Se unen los triángulos doblando hacia adentro para formar los tetraedros, usando pegamento en las pestañas de papel.

5. Se une el primer tetraedro con el último por medio de las pestañas y de ésta manera formar el anillo.  Por último se da vueltas al caleidociclo hacia adentro o hacia afuera, sin que éste pierda su forma. 

Apreciemos la belleza del caleidociclo en éste video.

FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA II

Siempre que miremos a nuestro alrededor encontraremos una figura, una linea, un cuerpo geométrico, etc representados en los objetos o imágenes. Principalmente en la arquitectura es indispensable la aplicación de la Geometría. Algunos ejemplos a continuación:

Este logotipo de una tienda de autoservicio tan conocido  está formado por círculos , trapecios y  rombos.

   

Semicírculos en la barda del estacionamiento.

Una gran torre de luz nos muestra líneas paralelas  con los cables y secantes y paralelas en su  estructura.

Es  el octágono que se presenta ahora en una señal de tránsito que no debemos  ignorar  sobretodo  cuando manejamos. 

En la reja de una ventana tenemos lineas tangentes al círculo  y que a la vez son paralelas entre sí.

En el barandal observamos lineas paralelas y secantes  y esto  también nos lleva a  encontrar  ángulos entre paralelas y una secante.

En el domo de la escuela se observa el arco de una circunferencia.

En la reja de un campo deportivo observamos líneas paralelas,  líneas  perpendiculares  y también  polígonos de  seis lados.

 

Reflexión sobre la clase del sábado 02 de marzo.

La clase de Geometría del sábado pasado, no fue la excepción, nuevamente el Dr. Mocencahua nos brindó grandes conocimientos y herramientas digitales para trabajar no solamente en Geometría, si no también pueden  ser aplicadas en otras áreas y situaciones. 

La tarea sobre los temas de cuadriláteros, polígonos,cuerpos geométricos, áreas y círculos, me fue de mucha utilidad y gran experiencia al trabajar con mapas mentales porque no fue sólo la investigación de dichos temas, si no fue todo un proceso de análisis y aprendizaje porque una vez ya obtenida la información, tuve que analizarla para clasificarla y organizarla; y ya concluido éste paso prosiguió el uso del programa X-Mind donde permite presentar la información visiblemente más sencilla y fácil de explicar para el expositor y entender para el receptor. El uso de éste programa siento que me llevó al nivel de profundización del tema y discriminación de conceptos.

Por otro lado, el empleo del programa adicional llamado Mind Meister, en donde cada equipo anotó su tema, me pareció muy interesante, porque todos pudimos observar el trabajo de cada pareja en un mapa conceptual grupal y pudimos al mismo tiempo hacer observaciones y aportaciones.

En cuanto a la actividad del caleidociclo, fue una novedad para mi porque nunca lo había visto ni elaborado, me sorprende su versatilidad. Esto me lleva a pensar que las matemáticas y en particular la Geometría, tiene su lado atractivo y recreativo. Ya en otra bitácora anterior había mencionado que la Geometría es sinónimo de belleza desde mi punto de vista y ahora lo confirmo con el caleidociclo porque busqué su definición y hallé lo siguiente: "Caleidociclo proviene de los vocablos griegos: cali: belleza, eidos: forma y ciclo:girar o volver al punto de origen"

Me pregunto si hay una fórmula o manera de calcular el volumen y área total del caleidociclo. También otras cuestiones que surge son ¿Hay caleidociclos de más número de caras o aristas? (por llamarle de alguna manera a los triángulos que lo forman),  ¿Se pueden trazar caleidociclos con otros polígonos como cuadrados, hexágonos, etc.?

La combinación del uso de materiales comunes (papel,regla, compás, lápiz, etc) y la tecnología (programas, aplicaciones, etc),  me lleva a concluir lo siguiente: 

a) Potencializa el aprendizaje

b)Es muy enriquecedora y versátil  la clase

c)Brinda una perspectiva más amplia del tema a tratar

d)Se tienen múltiples opciones de aprendizaje.

Eratóstenes

"ERATÓSTENES"

La historia de las matemáticas menciona a muchos hombres ilustres por su entrega y aportaciones a dicha ciencia, pero Eratóstenes, que es uno de ellos, tuvo una mayor amplitud de conocimiento, ya que estudió sobre geografía, filosofía, astronomía, la misma matemática y hasta poesía. 

Fue un hombre muy completo y lo menciono por su gusto y dedicación a la Poesía; que se puede  considerar como algo casi único, porque  no todos los matemáticos han apreciado a la poesía a la par o de la misma manera que a las matemáticas.

Gracias a éste sabio tenemos hoy en día un método muy utilizado para hallar los números primos menores que un número dado, por todos conocido como la "Criba de Eratóstenes"; pero me pregunto ¿Por qué se le llaman a éstos números "primos"?

Lo que llama más la atención de éste erudito son sus investigaciones sobre Geografía y Astronomía; ésto me lleva a concluir que las dos ciencias citadas están muy relacionadas con la matemática; creo que ésta última sustenta o comprueba a los hechos y fenómenos de la geografía y astronomía; porque la tierra existe, el sol existe, los planetas existen, las estrellas existen, el universo existe; ¿pero la matemática?, lo que me hace reflexionar que la matemática surge de la realidad; de una necesidad de analizarla, entenderla y explicarla; ejemplo de ello tenemos las investigaciones de Eratóstenes para calcular la circunferencia y diámetro de la Tierra, la distancia del Sol y de la Luna a nuestro planeta, el diámetro del Sol, etc, etc,.

Me parece interesante destacar la curiosidad de Eratóstenes o su delicada observación para detener su mirada en las sombras proyectadas por objetos, y que de ahí surja la idea para hallar la circunferencia de la tierra. Yo considero que el observar con detenimiento a nuestro alrededor y no tomar las cosas o hechos como algo simple, cotidiano, sin importancia o decir "suceden porque tienen que suceder"; sino buscar una explicación, es lo que nos conduce al conocimiento.

Por último quiero resaltar la parte poética de Eratóstenes que me parece ser el lado sensible del ser humano y la manifestación de sentimientos plasmados en papel. Indudablemente Eratóstenes fue un hombre sabio y virtuoso.

COMENTARIOS SOBRE LA CLASE DE GEOMETRÍA

En la clase pasada del sábado 16 de febrero, realizamos diferentes actividades abordando temas como "Suma de ángulos interiores de un triángulo", "Rectas y puntos notables de un triángulo", "Triángulos semejantes", "La Geometría en nuestro entorno", "Trazo del Tangrama" y "Trazo de un triángulo a un cuadrado"; realmente la clase fue muy interesante y sustanciosa.

El trabajo  realizado en GeoGebra  sobre "rectas y puntos notables del triángulo" me pareció muy dinámico porque el programa nos permite ocultar las rectas de las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas y de ésta manera se pueden destacar los puntos alineados: Circuncentro, Ortocentro y Baricentro. La recta donde se ubican dichos puntos, se le conoce como Recta de Euler, por lo que me lleva a preguntarme ¿Quién fue Euler? ¿Qué otras aportaciones hizo a las matemáticas y  en particular a la Geometría?; pero además me cuestiono ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta de Euler? ¿Por qué no se incluye al incentro?  y por último ¿Cuál es la razón en que el baricentro divide al segmento delimitado por los otros dos puntos, ortocentro y circuncentro, que delimitan el segmento?

Pasando a la actividad "La Geometría en nuestro entorno" que salimos a tomar fotos de objetos o lugares donde se aplicara  la Geometría, nos requirió de un momento de observación y quietud, ya que muchas veces pasamos por el mismo lugar y no apreciamos la presencia y belleza de la Geometría, sobre todo en la arquitectura; ésto me recuerda que desde la antigüedad varias culturas han trascendido a través de los siglos por sus exuberantes palacios, monumentos, pirámides, templos, etc., en donde la Geometría es majestuosamente demostrada y admirada.

Abordando ahora la tarea del triángulo transformado a cuadrado y viceversa, me fascina porque a pesar que sólo son tres movimientos y que parece fácil armar, no lo pude hacer al primer intento. No he hecho la prueba con otro tipo de triángulo (isósceles o escaleno) pero surge la interrogante ¿Habrá una relación, que como el triángulo equilátero tiene sus lados iguales y el cuadrado también; entonces se pueda dar la transformación?

Ahora bien, acerca de "Triángulos semejantes" me sorprendió que la foto que nos tomamos con el objeto, no era necesario proyectar la sombra; sino que se tomaba el encuadre de la cámara y las medidas en pantalla, y de ésta manera se estableció la relación de proporcionalidad que por consiguiente nos permitió hallar la medida del objeto.

Para finalizar considero que todas las actividades desarrolladas han enriquecido mis conocimientos, han generado interrogantes y también me dan más opciones de abordar un tema con el empleo del programa de GeoGebra, uso de cámara, recortes, etc., ¡Una nueva forma de trabajar Geometría! 

Teorema de Tales


COMENTARIOS SOBRE TALES DE MILETO

Tales de  Mileto, filósofo, astrónomo y matemático griego; un sorprendente hombre que me llama la atención por su gran inteligencia, ya que abarca varias ciencias muy complejas y extensas, en las cuales hace aportaciones tan reconocidas al grado de ganarse el título de "Padre de las Matemáticas" y estableció no sólo los fundamentos de la matemática moderna, y de la ciencia, sino también de la filosofía.

Me pregunto por qué no habrá escritos de Tales, como los libros de "Los Elementos" de Euclides; ya que siendo tan reconocido y sabio no haya dejado huella en papel de sus trabajos e investigaciones. Además su muerte no fue precipitada que acortara sus días y su obra, ya que murió a los setenta y ocho años aproximadamente.

Me llama la atención que Tales haya aportado a la matemática, astronomía y sobre todo a la filosofía como algunos otros matemáticos, los cuales destacan Descartes, Leibniz, Pitágoras, Teón, etc.  Por lo anterior me lleva a preguntarme cuál es la relación tan estrecha o punto de coincidencia entre éstas ciencias; ¿Acaso por ser matemático es obligatorio ser filósofo? o ¿Para ser matemático primero se debe ser filósofo? o ¿Se deben practicar las dos ciencias en la vida de un matemático? o ¿No se puede ser uno sin lo otro?

Tales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, filósofo, estadista, geómetra; pero también siento que era un hombre que rebuscaba mucho a su alrededor; que se preguntaba  por la existencia y origen del mundo y de sí mismo como ser humano y no aceptaba respuestas resueltas por mitología y dioses creadores de todo, sino que fuera algo abstracto y real que lo originaba todo; es por ello que sus cuestionamientos y su enfoque racional y objetivo lo lleva a determinar que el elemento natural "agua" es la sustancia primordial de todas las cosas.

En relación con la astronomía quisiera saber más sobre cómo pudo Tales predecir el eclipse solar en el año 585 a. de C. ; determinar el número exacto de días del año y dividir éste en cuatro estaciones, si no se tenían los instrumentos de medición astronómica, observatorios y tecnología de hoy en día.

La forma que tenía Tales de razonar  lo llevo a hacer grandes y extraordinarias conclusiones; el método deductivo que emplea y las estructuras lógicas lo hacen trascender; no conformándose con la experimentación, la intuición o comprobación repetida.