REFLEXIÓN SOBRE LA CLASE DEL SÁBADO 13 DE ABRIL   “TOPOLOGÍA Y TURTLE ART”

Me pareció muy interesante aprender que existen tipos de Geometría además de la que ya estaba escrita en “Los Elementos” de  Euclides y que por cierto se desprendieron del quinto postulado del mismo Euclides, “Por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela” ya que como existían algunas dudas y no estaba completamente fundamentado, empezaron a surgir nuevas ideas y ahí tuvo origen la Geometría Elíptica y la Geometría Hiperbólica. De lo anterior me llama la atención que hayan pasado más de dos mil años para que se desprendieran del quinto postulado dos geometrías más.

Otro tipo de Geometría que también me parece importante es la Topología que se inicia con Euler al hacer un análisis del  recorrido de los  7 puentes  de Königsberg. Éste tipo de geometría difiere de la Geometría euclidiana porque para transformar dos objetos que sean equivalentes, deben conservar la medida de ángulos, área, longitud y volumen y en Topología han de tener el mismo número de huecos, trozos e intersecciones permitiendo doblar, estirar, etc. Me parece que es una Geometría más flexible  y moldeable.

Me sorprende la manera como se comporta la banda de Möbius que es un ejemplo de Topología, en donde al girar no se llega al mismo punto de inicio del recorrido y  se camina por ambos lados de la tira (anverso y reverso) sin hacer una pausa o cambiar de lado; y de igual manera el flexágono (otro ejemplo de Topología) que se realiza con una tira de diez triángulos equiláteros y que al unirla dando un giro a los extremos se forma un hexágono muy peculiar porque haciendo dobleces y desdobleces,  se pueden ir mostrando las caras del anverso y reverso de la tira. Lo que me pregunto es que si habrá una regla para determinar en número de caras anversas y reversas que se mostrarán al girarlo una vez, y la combinación resultante de ellas.

Otra actividad realizada en clase y que me fascino, fue el uso del programa Turtle Art porque se pueden hacer múltiples figuras, objetos, trazos, diseños, etc.  con gran colorido y vistosidad. Pero lo interesante fue crearlas mediante comandos que debían ser debidamente estructurados y bien pensados para determinar lo que la tortuga iba a realizar como giros, pasos hacia atrás y delante, coordenadas, repeticiones, rango de color. Se debe tener mucho cuidado con el orden en que se dan las instrucciones, debido a que en programación los datos o indicaciones deben ser precisos porque de lo contrario el resultado no será el esperado. 

  REFLEXIÓN SOBRE LA CLASE DEL SÁBADO 20 DE ABRIL           “FRACTALES”                                 Me pareció interesante conocer los fractales como parte de las matemáticas, porque es algo completamente diferente a la geometría clásica donde se establece que las dimensiones de un objeto solo pueden ser de 1, 2 ó 3, es decir números enteros y los fractales no encajan en esas dimensiones. Ya había tenido la duda o curiosidad de determinar el volumen de objetos que no están completos, sino que tienen orificios  y me preguntaba como determinar el espesor de ellos e infería que no había manera de hacerlo o que ni siquiera era correcto  plantearse esa pregunta; pero ahora ya sé cómo catalogar dichos objetos y son “Fractales” que como bien su definición proviene de la palabra fragmentación o fraccionado; es decir cuando un plano no está totalmente recubierto o bien un volumen o espesor no está completamente lleno (tiene huecos o espacios).   

 De las dos características de los fractales (su dimensión es fraccionada y es autosimilar porque su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura) me llama la atención la segunda de ellas porque  me es sorprendente cómo se van repitiendo las formas y estilos en escalas más y más pequeñas al grado de no poderlas ver a simple vista y es como viajar a una dimensión infinita donde se pueden seguir hallando más réplicas increíblemente diminutas del objeto original.

Lo que también me sorprendió sobre los fractales, es su aplicación en diversos áreas como en diseño para objetos, pinturas, computación (películas, video juegos, caricaturas,  etc) y de igual manera tienen presencia en la naturaleza como en las ramificaciones de un río, en el torrente sanguíneo, en el follaje de un árbol, en las nubes, en el fuego, en el vapor del agua, en el brócoli, etc

Pienso que muchas veces no desarrollamos una visibilidad más amplia y profunda (hablando matemáticamente) ya que nos encuadramos solo en la geometría euclidiana y no percibimos toda la naturaleza y entorno, porque no descubrimos todas las formas y maneras en que se presentan los tipos de Geometría. Como el francés Mandelbrot que observó con detenimiento los objetos en la naturaleza y descubrió que las montañas, ríos, olas, no se podían definir como planos o dimensiones completas que coincidiera con la geometría tradicional (euclidiana) porque estaban incompletas o fracturadas. Me gustaría tener esa capacidad de observación.

Por último, quisiera saber ¿A qué tipo de Geometría pertenecen los fractales?

My Voki sobre Euler

Reflexión sobre Construcción de Transformaciones Geométricas en Geogebra

Como es sabido, desde la antigüedad, las civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de sus templos, casas, pavimentos, etc.,  y me pregunto si en aquellos años realizaban los teselados de una manera empírica o empleaban las transformaciones geométricas. 

Lo anterior me recuerda que la Geometría nuevamente está presente como símbolo de belleza  y arte en la arquitectura porque se emplean figuras para recubrir un plano sin dejar espacios ni trasponerse, creando así diseños de gran vistosidad y creatividad.

Abordando ahora la realización de Transformaciones Geométricas en el programa de  Geogebra, me permitió descubrir algunas características particulares de la homotecia, rotación, traslación y reflexión, al igual que sus similitudes y diferencias entre ellas como:

*La propiedad de isometría la poseen la traslación, reflexión y rotación.

*La homotecia es isomórfica porque sus ángulos y forma no cambian pero los lados de las figuras son proporcionales.

*La rotación, traslación y reflexión son transformaciones directas porque no cambia el sentido de las figuras.

*El elemento particular de la reflexión es el eje de simetría; de homotecia son el punto de homotecia y el factor de escala; de rotación son el punto de rotación y el ángulo; y de traslación es el vector.

Ahora bien, pienso que elaborar las Transformaciones Geométricas en el programa de Geogebra brinda muchas ventajas y oportunidades de conocimiento y creatividad porque puedes dar movimiento a las figuras,  disminuyendo o acrecentando la medida del ángulo en el caso de rotación, la longitud del vector en la traslación, el factor de escala en homotecia, y observar los cambios y presentación de las transformaciones; al igual que las propiedades de las mismas. 

Me parece importante la aplicación de las Transformaciones Geométricas en teselaciones, pero me interesaría saber distinguir cuándo una teselación está trazada con rotación, traslación, reflexión u otra; y de la misma manera poder elaborar algún teselado empleando alguna de ellas.

Quisiera saber más sobre las aplicaciones de las Transformaciones Geométricas en otras áreas o situaciones además de las teselaciones porque me parecen interesantes y creativas.

Glogster: Geometría no Euclidiana

Glogster: Geometría no Euclidiana

Transformaciones Geométricas

Transformaciones Geométricas

Homotecia Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

-->

Rotación Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

-->

Traslación Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

-->

Reflexión Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 8 Abril 2013, Creado con GeoGebra

-->

 Razón dorada

Se trata de un número irracional (decimal infinito no periódico)          Phi= 1.61803398.... y fue creado en la antigüedad como la relación o proporción entre dos segmentos de rectas.




La línea es dividida para que la proporción de la longitud de la línea entera (A) respecto a la longitud del segmento de la línea mayor (B) sea igual que la proporción de la longitud del segmento de la línea mayor (B) a la longitud del segmento de la línea menor (C)

Lo impresionante de esta razón es el perfecto encaje del espiral dorado en la naturaleza como en las conchas de mar y en las flores.

También se presenta en la arquitectura con el empleo del espiral dorado

Ex-convento de Huejotzingo

Palacio de Bellas Artes

El Capitolio EE UU

En el cuerpo humano

En el rostro de Jennifer Aniston

Rostro perfecto

En el cuerpo de esta chica tomando como referencia el ombligo

Proporción perfecta

En algunos objetos la razón aurea se hace presente con ayuda del compás dorado

Cartel de seguridad

Pantalla de televisor

Apagador

Reflexión sobre la clase  del sábado 16 de marzo.


Durante el curso de Geometría, los temas que se han abordado, han sobresalido los griegos como los grandes matemáticos y fueron ellos los que se cuestionaron "¿Habrá una manera de representar la belleza mediante las matemáticas? ¿Habrá un número que represente la belleza y perfección?" Realmente para mi es asombroso que los griegos se hayan hecho éstas preguntas porque aunque la Geometría  presenta formas que brindan belleza en arquitectura, arte, escultura, etc. ésto no fue suficiente para ellos.


El número Fi  que equivale a 1.618......  descubierto por Fibonacci (aunque antes ya lo habían mencionado Euclides) con el cual se da el rectángulo, compás y espiral dorado que surge de la proporción entre dos segmentos de una recta.
Lo que me parece interesante es que el espiral dorado encaja perfectamente en creaciones de la naturaleza como flores, animales, nervaduras de hojas,  conchas de mar, piñas de pino, etc  y también el compás dorado se ajusta a las partes del cuerpo humano en manos, cara, brazo, oreja, etc. ¿Me pregunto por qué se da ésta situación? ¿Podrá catalogarse como sólo una coincidencia o como lo describen algunos matemáticos, algo místico?

Por otro lado, abordando el tema de  Teselaciones  que también se trabajó en clase, pienso que además del papel importante de la Geometría, también es indispensable la imaginación y creatividad porque se pueden diseñar recubrimientos del plano con figuras regulares pero al
igual se pueden emplear formas diversas como animales, personas, objetos o bien la combinación de ellos.

Esto me recuerda los panales de las abejas  que están formados por pequeños hexágonos. ¿Me pregunto si las teselaciones también tienen su origen en la naturaleza como la proporcionalidad aurea o surgió solo con lápiz y papel trazando figuras geométricas que cubrían un plano sin dejar espacios ni sobreponerse.
Las teselaciones pueden ser diseñadas con base en transformaciones geométricas como rotación, traslación, simetría u homotecia, pero me gustaría saber distinguir cuando una teselación  está elaborada específicamente por alguna de dichas transformaciones y así mismo poder trazarlas bajo esos criterios o condiciones.
Las teselaciones son empleadas en  pisos, tapices, paredes, telas, etc., pero ¿habrá alguna otra aplicación en diferentes ámbitos o áreas?